Операции с левосторонними кучами
Операция СЛИЯНИЕ. Эта операция позволяет слить две левосторонние кучи и в одну кучу . Реализуется она посредством слияния правых путей двух исходных куч в один правый путь, упорядоченный по правилам кучи, а левые поддеревья узлов сливаемых правых путей остаются левыми поддеревьями соответствующих узлов в результирующем пути. В полученной куче необходимо восстановить свойство левизны каждого узла. Это свойство может быть нарушено только у узлов правого пути полученной кучи, так как левые поддеревья с корнями в узлах правых путей исходных куч не изменились. Восстанавливается свойство левизны при помощи прохода правого пути снизу вверх (от листа к корню) с попутным транспонированием в случае необходимости левых и правых поддеревьев и вычислением новых рангов проходимых узлов.
Рассмотрим процесс слияния двух левосторонних куч
и , изображенных на рис. 5.2.
Рис. 5.2.
Числа внутри кружочков являются ключами элементов, приписанных к соответствующим узлам. Правые ветви куч показаны жирными линиями. Числа рядом с узлами — их ранги.
После объединения правых путей получим дерево, изображенное на рис. 5.3. Оно не является левосторонним. В скобках указаны ранги узлов, какими они были в исходных кучах до слияния.
Восстановление свойства левизны кучи начинаем с последнего узла правой ветви. Это узел с ключом . Очевидно, он должен иметь ранг , совпадающий с его старым значением и поэтому не требующий обновления.
Рис. 5.3.
Следующий по направлению к корню узел правой ветви имеет ключ , ранг его левого сына не меньше ранга правого сына, следовательно, условие левизны выполняется и поэтому транспонирования его левого и правого поддеревьев не требуется. Однако ранг этого узла необходимо обновить, так как его старое значение не совпадает с увеличенным на
минимальным из рангов его потомков, то есть с числом 2. Обновив ранг, получим кучу, изображенную на рис. 5.4.
Рис. 5.4.
Теперь рассмотрим узел с ключом . Он имеет левого сына с ключом
и рангом и правого сына с ключом и рангом . Для восстановления свойства левизны в этом узле необходимо поменять местами его левое и правое поддеревья и обновить ранг. Его новым значением будет минимум из рангов его потомков (это ранг нового правого сына) плюс , то есть . В результате получаем дерево, изображенное на рис. 5.5.
Рис. 5.5.
